可变形系统的动力学：研究揭示了索状结构的数学奥秘

我们的身体是固态的还是液态的？我们都知道一个惯例——固体保持其形状，而液体填充它们所在的容器。但在现实世界中，这些线往往是模糊的。想象一下在海滩上散步。有时沙子会在脚下塌陷，像液体一样变形，但当足够多的沙粒堆积在一起时，它们可以像固体表面一样支撑重量

对这类系统进行建模是出了名的困难，但佐治亚理工大学物理学院的助理教授Zeb Rocklin为此写了一篇新论文

Rocklin的研究“通过分析图论的随机张拉整体中的刚性渗流”发表在《美国国家科学院院刊》上。研究结果有可能影响从生物学到工程和纳米技术的各个领域，表明这些类型的可变形固体具有罕见的耐用性和灵活性

Rocklin说：“我为我们的团队感到骄傲，尤其是Will和Vishal，这两位佐治亚理工大学的本科生共同领导了这项研究。”

主要作者William Stephenson和合著者Vishal Sudhakar在本研究期间都完成了在该研究所的本科学习。Stephenson现在是密歇根大学安娜堡分校的一年级研究生，Sudhakar已经被佐治亚理工大学录取为研究生。此外，合著者Michael Czajkowski是物理学院的博士后研究员，合著者James McInerney在Rocklin的领导下完成了物理学院的研究生学业。麦金纳尼现在是密歇根大学的博士后研究员

用电缆连接这些点

想象一下在化学课上构建分子——用棍子或杆子连接的大木球。虽然包括数学模型在内的许多模型都使用杆，但现实生活中的生物系统是由聚合物构建的，其功能更像是有弹性的绳子

同样，在创建数学或生物模型时，研究人员经常将所有元素视为棒，而不是将其中一些元素视为电缆或字符串。但是，Rocklin说，“一个模型在数学上的易处理性和物理上的合理性之间存在权衡。”

“物理学家可以有一些漂亮的数学理论，但它们并不总是现实的。”例如，使用连接棒的模型可能无法捕捉到连接线所提供的动力学。“用绳子你可以拉伸它，它会与你对抗，但当你压缩它时，它就会崩溃。”

“但是，在这项研究中，我们扩展了当前的理论，”他说，并添加了类似电缆的元素。“事实证明，这非常困难，因为这些理论使用数学方程。相比之下，电缆两端之间的距离由一个不等式表示，而这个不等式根本不是方程。

”那么，当你不是从方程开始时，你如何创建数学理论呢？Rocklin说：“虽然在数学方程中，一根杆有一定的长度，但绳子的末端必须表示为小于或等于一定的长度。

在这种情况下，“所有常见的分析理论都完全崩溃了。”“这对物理学家或数学家来说都变得非常困难。”。Rocklin补充道：“

”诀窍是要注意到，这些物理系统在逻辑上等同于一种叫做有向图的东西，在有向图中，不同的变形模式以特定的方式相互联系。这使我们能够将一个相对复杂的系统大规模压缩为一个小得多的系统。当我们这样做的时候，我们能够把它变成计算机非常容易做的事情。”

从生物学到工程

Rocklin的团队发现，当用电缆和弹簧建模时，目标范围发生了变化，变得更软，误差范围更大。“这对像生物系统这样的东西来说可能非常重要，因为生物系统正试图接近临界点，”Rocklin说。“我们的模型表明，临界点周围的区域实际上比以前只使用杆的模型显示的要宽得多。”。“

Rocklin还指出了工程师的应用。例如，由于Rocklin的新理论表明，即使是无序的电缆结构也可以是坚固和灵活的，它可能有助于工程师利用电缆作为建筑材料，创造更安全、更耐用的桥梁。该理论还提供了一种轻松建模这些基于电缆的结构的方法，以确保它们在建造之前的安全，并为工程师提供了一个迭代设计的方法。

Rocklin还提到了纳米技术的潜在应用。”在纳米技术中，你必须接受越来越多的无序，因为你不能只让一名熟练的工人真正进入并将分段放置在那里，也不能让传统的工厂机器将分段放在那里。”Rocklin说。

但生物学已经知道如何建立有效但无序的杆状和缆索结构数亿年了。”这将告诉我们，当我们达到能够做生物学所能做的事情的地步时，我们可以用这些无序的结构制造出什么样的机器。Rocklin说：“这是工程师们未来可能探索的一个设计原则，在非常小的范围内，我们无法准确地选择每条电缆的走向。”。