剑桥大学和哥本哈根大学的研究人员考察了比例代表制和简单多数制。他们的分析发现，选举国家立法机构的每种方法都涉及妥协，通常是在地方代表性、全国比例性和议会席位总数之间进行权衡。
选举制度面临日益增长的压力
过去十年中，北欧的几次选举已经展示了这些紧张关系。随着选民日益将支持分散给更多的政党，这一问题变得更加明显。
在丹麦，尽管采用比例代表制，左翼阵营在2022年选举中获得的选票少于右翼阵营，却赢得了选举。在德国，为保持地方代表性和比例性的努力导致联邦议院在2023年改革引入前急剧膨胀。在英国，2024年大选产生了该国历史上比例性最差的结果，工党在获得33.7%选票的情况下赢得了63%的席位。
尽管可能不存在完全“公平”的选举制度，但研究人员认为，各国仍能更有效地管理区域代表性、比例性和议会规模之间的冲突。他们的研究结果发表在《运筹学年刊》上。
启发这项研究的丹麦选举
该项目始于丹麦2022年大选之后，当时选票与席位出现了75年来首次不对应的情况。
像许多欧洲国家一样，丹麦采用两级制或比例代表制。选民首先选举地方代表。然后分配额外的“平衡”席位，以使每个政党的议会席位份额更接近其全国得票份额。
然而，随着政治支持分散到更多政党，维持比例性需要更多的“平衡”席位。丹麦在2022年有40个此类席位，但这个数量已不足以产生完全比例代表的结果。
“本质上，这几乎打破了该系统，”来自剑桥大学纯数学与数理统计系的合著者Frederik Ravn Klausen博士说。“最终结果是社会民主党多得了一个与其得票数不符的席位。当然，按英国的标准这算不了什么，但在两级制中，这本不该发生。增加了戏剧性的是，这单独一个席位决定了选举结果。”
Klausen和哥本哈根大学的合著者Sebastian Tim Holdum提出了一个不可能性定理，展示了日益加剧的政治碎片化如何使选举制度承受越来越大的压力，其后果可能直接影响执政权的归属。
无法总是共存的三个目标
研究人员比较了世界各地的选举制度，包括英国的简单多数制模式和欧洲大部分地区使用的比例代表制。
他们确定了许多人认为“公平”制度应具备的三个核心特征：
- 区域性：每个赢得地方席位的人都保留其席位
- 比例性：全国席位总数与全国得票份额相匹配
- 固定的议会规模：席位数量不随选举更替而改变
“我们发现，一旦政党数量达到一定程度，这三个组成部分中必须有一个做出让步，否则数学上根本行不通，”Klausen说。“这不是腐败或阴谋，这只是数学。”
各国如何做出不同的妥协
各国政府通过选择准备削弱哪一项原则来应对这一数学约束。
在德国，联邦议院从2021年的598个席位扩大到736个席位，因为维持比例性所需的平衡席位数量持续增加。2023年引入的改革阻止了立法机构的无限制膨胀，但也取消了每位地方获胜者都能进入议会的保证。瑞典是采用类似方法的国家之一。
英国做出了不同的权衡。在其简单多数制下，比例性是最常被牺牲的原则。
在过去一个世纪的大部分时间里，英国政治主要表现为两党制。随着更多政党的出现并在政治光谱各端吸引了大量支持，选票与席位之间的差距变得更加显著。
2024年，英国改革党获得了14.3%的全国选票，但在650个席位中仅获得了5个席位。相比之下，工党以33.7%的得票率赢得了411个席位。
“在下一次英国大选中，选票与席位的不匹配可能会更大，”Klausen说。
几个前英国领地继承了相同的选举模式，也面临着改变它的压力。加拿大尽管多次尝试改革，但仍保留了简单多数制。新西兰在1993年采用了比例代表制，但新西兰众议院没有固定的议会规模。
实现更公平选举的数学提案
Klausen和Holdum还提出了一个由其数学分析支持的可行替代方案。他们的算法被称为“地理排序保证比例性”，旨在规避现有选举制度中固有的一些局限性。
根据该提案，每个政党的全国席位总数将完全由其总得票份额决定。因此，获得20%选票的政党将获得20%的席位，无论这些选票是在哪里投出的。
然后，将根据每位候选人在当地的表现强度对各个选区进行排名。席位将按该排名顺序分配，直到每个政党填满其全国配额。
该方法将保证比例性，但会削弱区域性。一名候选人可能在地方选区轻松获胜，但如果其政党已通过其他地区更强的表现填满了配额，该候选人仍可能无法进入议会。
没有完美的制度，但可能有更好的制度
“我们的结果表明，随着英国关于比例代表制的讨论受到更多关注，并不存在所谓的‘完美’制度，”Klausen说。“然而，人们仍然可以说有些制度的表现优于其他制度。必须牺牲比例性、区域性或固定的议会规模中的某一个并不是借口。人们可以大致兼顾这三个原则，但许多制度并未做到。”
研究结果表明，数学限制无法消除，但这并不妨碍各国设计出能更成功地平衡这三个相互竞争目标的选举制度。
Frederik Ravn Klausen是剑桥大学克莱尔学堂的成员。