奇特的新形状或将改写物理定律

直击要点：

• 连接数学与物理学：该研究探索了代数和蓬勃发展的正几何学领域的关键参与者之一如何统一从亚原子粒子到星系的物理学。
• 超越费曼图：正几何学为传统量子场论方法提供了补充视角——为描述粒子相互作用提供了一个几何框架，与费曼图相辅相成。
• 从粒子对撞到大爆炸：来自代数几何、D-模理论和组合学的工具推动了这一跨学科进展——有助于解码粒子相互作用的基本结构及宇宙最早期的状态。

数学与物理学有着紧密且相互促进的关系。数学提供了描述物理现象的语言和工具，而物理学则推动了新数学思想的发展。这种相互作用在量子场论和宇宙学等领域仍然至关重要，在这些领域，先进的数学结构和物理理论共同演化。

在文章中，作者们探讨了代数结构和几何形状如何帮助我们理解从粒子对撞（例如发生在粒子加速器中）到宇宙大尺度结构等现象。他们的研究以代数几何为核心。他们近期的研究也涉及一个称为正几何的领域——这是一个跨学科的、新颖的数学主题，由粒子物理学和宇宙学中的新思想所推动。该领域受到正几何几何概念的启发，它扩展了粒子物理学中标准的费曼图方法，通过将相互作用表示为高维几何物体（如振幅体）的体积来表述相互作用。振幅体由理论物理学家尼玛·阿卡尼-哈米德（Nima Arkani-Hamed）和雅罗斯拉夫·特恩卡（Jaroslav Trnka）于2013年提出。它承载着丰富的组合结构，并提供了一种替代性的、可能更简单的方法来计算散射振幅，从中可以推导出散射事件的概率。

这种方法具有超越粒子物理学的深远意义。在宇宙学中，科学家们正利用宇宙微波背景的微弱光线和星系的分布来推断塑造早期宇宙的因素。类似的数学工具现在也被应用其中。例如，宇宙学多面体（其本身也是正几何）可以表示宇宙第一束光中的相关性，并帮助重建支配宇宙诞生的物理定律。

宇宙的几何学

文章强调，正几何学并非一个边缘的数学奇趣，而是一种潜在的统一语言，适用于理论物理学的多个分支。这些几何框架自然地编码了物理系统之间的信息传递，例如，通过将具体的、基于感官的概念映射到抽象结构，这一过程反映了人类如何隐喻地理解世界。

其背后的数学是复杂且跨越多学科的。作者们借鉴了代数几何（通过多项式方程组的解来定义形状和空间）、代数分析（通过称为D-模的数学对象研究微分方程）以及组合学（描述这些结构内部的排列和相互作用）。

所研究的正式对象，如费曼积分、广义欧拉积分或正几何的典范形式，并非仅仅是数学抽象。它们对应于高能物理学和宇宙学中的可观测现象，使得粒子行为和宇宙结构的精密计算成为可能。

用数学连接尺度

该研究提出了一种具有广泛适用性和可扩展性的方法。散射过程通常用费曼图来说明。费曼在研究散射振幅时的方法归根结底是研究与这些图相关的复杂积分。代数几何提供了一系列工具来系统地研究这些积分。

费曼图的图多项式是根据其基础图的生成树和林来定义的。相关的费曼积分可以表示为该图多项式幂次的梅林变换，并解释为其系数的函数。然而，这些系数受到基础物理条件的约束。因此，费曼积分与广义欧拉积分紧密相关，特别是通过限制在相关的几何子空间上。研究这些全纯函数的一种方式是通过它们满足的线性微分方程，这些方程是超几何D-模的D-模逆像。然而，显式构造这些微分方程仍然具有挑战性。在理论宇宙学中，玩具模型中的相关函数也采用此类积分形式，其被积函数产生于超平面排列。

在代数环面中，由图多项式定义的代数簇的补集是一个非常仿射簇，费曼积分可视为该簇的扭曲闭链和上闭链的配对。其几何和（上）同调性质反映了物理概念，例如主积分的数量。当运动学参数变化时，这些主积分构成了积分空间的基，并且该基的大小（至少在一般情况下）等于该簇的带符号拓扑欧拉示性数。

一个活跃的领域

费沃拉（Fevola）和萨特尔伯格（Sattelberger）的工作反映了一项日益壮大的国际努力，该努力由尼玛·阿卡尼-哈米德、丹尼尔·鲍曼（Daniel Baumann）和约翰内斯·亨（Johannes Henn）、伯恩德·斯特姆费尔斯（Bernd Sturmfels）的ERC协同资助项目UNIVERSE+支持。它将数学、粒子物理学和宇宙学结合在一起，专注于代数、几何和理论物理学之间的这些联系。“正几何学仍然是一个年轻的领域，但它有潜力显著影响物理学和数学的基础研究，”作者们强调。“现在轮到科学界来完善这些新兴数学对象和理论的细节，并对它们进行验证。令人鼓舞的是，一些成功的合作已经奠定了重要的基础。”

近期的进展不仅推进了我们对物理世界的理解，也拓展了数学本身的边界。正几何学不仅仅是一个工具。它是一种语言。一种可能统一我们对自然界所有尺度理解的语言。