奇异新形态可能改写物理定律

直击要点：

• 数学与物理的桥梁：该研究探索了代数和蓬勃发展的正几何领域的关键参与者之一如何统一从亚原子粒子到星系的物理学。
• 超越费曼图：正几何为传统的量子场论方法提供了补充视角——为描述粒子相互作用提供了几何框架，与费曼图相辅相成。
• 从粒子碰撞到大爆炸：代数几何、D-模理论和组合数学的工具推动了这一跨学科进展——帮助解码粒子相互作用的基本结构和宇宙的最初状态。

数学与物理有着紧密、互惠的关系。数学提供了描述物理现象的语言和工具，而物理则推动了新数学思想的发展。这种相互作用在量子场论和宇宙学等领域仍然至关重要，在这些领域，先进的数学结构和物理理论共同发展。

在文章中，作者探讨了代数结构和几何形状如何帮助我们理解从粒子碰撞（例如粒子加速器中发生的碰撞）到宇宙大尺度结构的各种现象。他们的研究以代数几何为核心。他们近期的研究还与一个称为正几何的领域相关——这是一个由粒子物理学和宇宙学新思想推动的、跨学科且新颖的数学领域。该领域的灵感源于正几何的概念，它通过将相互作用表示为高维几何物体（如振幅体）的体积，扩展了粒子物理学中标准的费曼图方法。振幅体由理论物理学家尼玛·阿卡尼-哈米德和雅罗斯拉夫·特恩卡于2013年提出。它具有丰富的组合结构，并提供了一种替代性的、可能更简单的方法来计算散射振幅，从而推导出散射事件的概率。

这种方法的影响超越了粒子物理学。在宇宙学中，科学家们利用宇宙微波背景的微弱光和星系的分布来推断早期宇宙的形态。类似的数学工具现在正被应用。例如，宇宙学多面体本身属于正几何，它可以表示宇宙最初光线中的相关性，并帮助重建支配宇宙诞生的物理定律。

宇宙的几何

文章强调，正几何并非小众的数学奇谈，而是理论物理学分支的潜在统一语言。这些几何框架自然地编码了物理系统之间的信息传递，例如，通过将具体的、基于感官的概念映射到抽象结构，这一过程反映了人类隐喻性地理解世界的方式。

其背后的数学复杂且跨越多个学科。作者借鉴了代数几何（通过多项式方程组的解集定义形状和空间）、代数分析（通过称为D-模的数学对象研究微分方程）以及组合数学（描述这些结构内的排列和相互作用）。

所研究的正式对象，如费曼积分、广义欧拉积分或正几何的典范形式，不仅仅是数学抽象。它们对应于高能物理和宇宙学中的可观测现象，使得粒子行为和宇宙结构的精确计算成为可能。

用数学连接尺度

该研究提出了一种具有广泛适用性和可扩展性的方法。散射过程通常用费曼图来说明。费曼研究散射振幅的方法归根结底是研究与这些图相关的复杂积分。代数几何提供了一系列工具来系统性地研究这些积分。

费曼图的图多项式是根据底层图的生成树和森林定义的。相关的费曼积分可以表示为该图多项式幂次的梅林变换，解释为其系数的函数。然而，这些系数受到底层物理条件的约束。因此，费曼积分与广义欧拉积分密切相关，特别是通过对相关几何子空间的限制。研究这些完整函数（holonomic functions）的一种方式是通过它们满足的线性微分方程，这些是超几何D-模的D-模逆像。然而，明确构造这些微分方程仍然具有挑战性。在理论宇宙学中，玩具模型中的关联函数也采用此类积分形式，其被积函数源于超平面排列。

由图多项式定义的代数簇在代数环面中的补集是一个非常仿射簇，费曼积分可视为此簇的一个扭曲闭链和上闭链的配对。它的几何和（上）同调性质反映了诸如主积分数量之类的物理概念。当运动学参数变化时，这些主积分为积分空间形成一组基，该基的大小（至少在一般情形下）等于该簇带符号的拓扑欧拉示性数。

发展中的领域

费沃拉和萨特尔伯格的工作反映了一项日益壮大的国际努力，并得到了尼玛·阿卡尼-哈米德、丹尼尔·鲍曼、约翰内斯·亨和伯恩德·施图姆费尔斯主持的ERC协同基金UNIVERSE+的支持。它将数学、粒子物理学和宇宙学结合在一起，专注于代数、几何和理论物理学之间的这些联系。“正几何仍是一个年轻领域，但它有潜力显著影响物理学和数学的基础研究，”作者强调道。“现在需要科学界共同努力，完善这些新兴数学对象和理论的细节并验证它们。令人鼓舞的是，几项成功的合作已经奠定了重要的基础。”

近期的进展不仅推动着我们对物理世界的理解，也拓展着数学本身的边界。正几何不仅仅是一个工具。它是一种语言。一种可能统一我们对自然界所有尺度理解的语言。